定义
如上图所示，树是一个有n个有限节点组成一个具有层次关系的集合，每个节点有0个或者多个子节点，没有父节点的节点称为根节点。
树的种类比较多，有二叉树，红黑树，AVL树，B树，哈夫曼树，字典树等等。
树的这么多种类中，我们最常见的应该是二叉树了，下面我们来看看如何实现二叉树的一些基本功能。
基本概念
- 结点的度：一个结点含有的子结点的个数称为该结点的度；
- 叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；
- 非终端结点或分支结点：度不为0的结点；
- 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；
- 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；
- 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；
- 树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；
- 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；
- 树的高度或深度：树中结点的最大层次；
- 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；
- 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；
- 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。
- 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；
- 无序树：树中任意节点的子结点之间没有顺序关系，这种树称为无序树,也称为自由树;
- 有序树：树中任意节点的子结点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
- 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
- 完全二叉树：若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树
- 满二叉树：除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点的二叉树。
- 哈夫曼树：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
构造节点
一个完整的树节点包括当前节点值、左节点指针和右节点指针
1
2
3
4
5
6
7
8
9
|
class Node(object):
"""构造树节点"""
def __init__(self, item):
# 节点的值
self.element = item
# 左子节点
self.lchild = None
# 右子节点
self.rchild = None
|
构造树
1
2
3
4
|
class Tree(object):
"""二叉树"""
def __init__(self, root = None):
self.root = root
|
添加节点
添加节点是按照顺序（一层一层）添加的，如下图所示的二叉树，依次添加的节点为[A, B, C, D, E, F]，想要添加元素，就必须先遍历节点，所以需要一层层遍历节点，判断节点的左右子节点是否为空。
具体的添加过程：
具体的代码实现如下：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
|
def add(self, item):
node = Node(item)
# 判断树是否为空树
if self.root is None:
self.root = node
return
queue = [self.root]
while queue:
# 弹出元素
cur_node = queue.pop(0)
# 判断左子节点
if cur_node.lchild is None:
cur_node.lchild = node
return
else:
queue.append(cur_node.lchild)
# 判断右子节点
if cur_node.rchild is None:
cur_node.rchild = node
return
else:
queue.append(cur_node.rchild)
|
遍历节点
遍历节点就是访问树的各个节点，一般分为两种，广度优先（层次遍历）和深度优先。
广度优先遍历
访问顺序是：先访问上一层，在访问下一层，一层一层的往下访问
所以上图前序遍历的结果是：A→B→C→D→E→F
访问顺序如下
具体代码如下：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
|
def bread_travel(self):
"""广度优先遍历/层次遍历"""
queue = [self.root]
while queue:
cur_node = queue.pop(0)
print(cur_node.element)
if cur_node.lchild:
queue.append(cur_node.lchild)
if cur_node.rchild:
queue.append(cur_node.rchild)
|
深度优先遍历
深度优先遍历一般分为先序、中序、后序三种，所谓的先、中、后是指根节点的访问顺序，而且左节点永远在右节点前。
先序遍历
访问顺序是：根节点→左子树→右子树
所以上图前序遍历的结果是：A→B→D→E→C→F
访问顺序如下
具体的代码如下：
递归方式
1
2
3
4
5
6
7
|
def pre_deep_travel(self, node):
"""先序遍历"""
if node is None:
return
print(node.element, end=' ')
self.pre_deep_travel(node.lchild)
self.pre_deep_travel(node.rchild)
|
非递归方式
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
|
def pre_deep_travel1(self, node):
if node is None:
return
stack = [node]
while stack:
node = stack.pop()
print(node.element, end= ' ')
if node.right:
stack.append(node.right)
if node.left:
stack.append(node.left)
|
中序遍历
访问顺序是：左子树→根节点→右子树
所以上图前序遍历的结果是：D→B→E→A→F→C
访问顺序如下
具体的代码如下：
递归方式
1
2
3
4
5
6
7
|
def in_deep_travel(self, node):
"""中序遍历"""
if node is None:
return
self.in_deep_travel(node.lchild)
print(node.element, end=' ')
self.in_deep_travel(node.rchild)
|
非递归方式
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
|
def in_deep_travel1(self, node):
stack = []
while node or stack:
# 先添加所有左节点
while node is not None:
stack.append(node)
node = node.left
if stack:
node = stack.pop()
print(node.element, end=' ')
# 再添加右节点
node = node.right
|
后续遍历
访问顺序是：左子树→右子树→根节点
所以上图前序遍历的结果是：D→E→B→F→C→A
访问顺序如下
具体大代码如下：
递归方式
1
2
3
4
5
6
7
|
def post_deep_travel(self, node):
"""后序遍历"""
if node is None:
return
self.post_deep_travel(node.lchild)
self.post_deep_travel(node.rchild)
print(node.element, end=' ')
|
非递归方式
双栈法，很巧妙的方法，每个节点入第一个栈的顺序是[根, 左, 右]，其实就是反过来的先序遍历，在每次循环时，弹出第一个栈的栈顶元素，并入第二个栈，那么每个节点在第二个栈的顺序是[根, 右, 左]。本质就是把反过来的先序遍历再反一遍，就是后续遍历。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
|
def post_deep_travel1(self, node):
if node is None:
return
stack1 = [node]
stack2 = []
while stack1:
node = stack1.pop()
stack2.append(node)
if node.left:
stack1.append(node.left)
if node.right:
stack1.append(node.right)
while stack2:
node = stack2.pop()
print(node.element, end=' ')
|
